ADM du 14/11/07

Bon quelques questions simples, qu'on a fait en ADM pour vous aider au DST de vendredi : ( des aides sont proposées en dessous de l'énoncé si vous coincez sur la question, ne rêvez pas, ce ne sont pas les réponses ^^ )

Soit f définie sur [ 0 ; + infini [ par f(x)=e^-x * cos(4x)
et gamma sa courbe représentative.
On considère également la fonction g définir sur [ 0 : + infini [ par g(x)=e^-x
et on nomme sa C sa courbe représentative.

1)a) Montrer que, pour tout réel x appartenant à l'intervalle [ 0 : + infini [, -e^-x < f(x) < e^-x ( ici, les ce ne sont pas des inégalités strictes, donc c'est plus petit ou égal )

b)En déduire la limite de f en + infini

2) Déterminez les coordonnées des points communs aux courbes gamma et C.

3)On définit la suite (Un) sur N par Un = f ( n* PI/2 )


a) Montrer que la suite (Un) est une suite géométrique. En préciser la raison et le premier terme.

b) En déduire le sens de variation de la suite ( Un) et étudier sa convergence.

4)a) Montrer que, pour tout réel x appartenant à l'intervalle [ 0 : + infini [, f '(x) = -e^-x * ( cos(4x) + 4sin(4x) )

b) En déduire que les courbes gamma et C ont même tangente en chacun de leurs points commun.

Aides :

1)a)

Spoiler:

1)b)

Spoiler:

2)

Spoiler:

3)a)

Spoiler:

3)b)

Spoiler:

4)a)

Spoiler:

4)b)

Spoiler:

merci! (tu peux aussi me filer ton cahier je scan tout :p)

Euh pour la 1)b) j'ai un trou de redaction, comment rédiger avec les gendarmes apar dire lim majorant et minorant égale donc... ?

Euh (j'ai pas fait l'exo mais bon)
On a minorant < f < majorant
Or lim minorant = lim majorant
Donc lim f = lim minorant

moi je bloque sur la question 1°) a. (ça promet pour demain). j'ai encadré cos(4x) par 1 et -1, mais après, je me demande s'il faut multiplier par e^(-x), si on a le droit quoi, et sinon on fait quoi? et si c'est ça, e^(-x) est il bien toujours positif (il me semble que oui, mais ça me rassurerait si vous me le confirmiez), et donc n'inverse pas les inégalités?... je suis très perplexe, un petit mot là-dessus serait donc le bienvenu.
merci, et bon courage à vous pour les revisions.

VaL

Oui e^(-x) est toujours positif.
Le tableau de variations de l'exponentiel base e indique que ExpE varie de 0 a + l'infini , par conséquent tu peux multiplier sans avoir peur de changer le sens de l'encadrement

oh mon dieu t as pas le DISCOURS!
la fct expo neperienne prend ses valeurs dans ]-infini; +infini[ et est definie sur ]0; +infini[ (lhistoire des boucles la) donc e de x est toujours strictement positif qq soit x € R donc si tu multiplie l inegalite par (e de -x) ca changera pas l'ordre

merci j'avais fini par me persuader que j'avais bon, vous m'auriez tué en me disant le contraire... malheureusement maintenant je bloque au niveau de l'équation que j'obtient après avoir posé mon système d'équations dans la question 2°)... je vois vraiment pas comment résoudre ce truc horrible: e^(-x).cos(4x)-e^(-x)=0; dites moi si je me suis plantée quelque part, ou alors quelle technique utilisée si mon équation est la bonne s'il vous plaît... p-e que grace à vous j'aurais la moyenne demain
merci

VaL

Héhé jviens juste de rentrer chez moi jvai enfin pourvoir me mettre aux révisions, mais c'est super tout ça.
Enfin bon vive les grèves, sinon au sujet des math quand même oui Valentine tu peux multiplier chaque membres de l'encadrement par e^(-x)bientot LaTeX étant donné que cette opération consiste à multiplier par l'inverse de e^x, or l'inverse d'un positif est bien positif à ma connaissance Surtout ne pense pas à sortir le "moin" de l'exposant comme j'ai failli faire pendant une demie seconde C'est une abération honteuse des théorème de calcul de ln et EXPe.

Ca répond vite ce soir...
je vois pas pourquoi à la 2) tu trouve une egalité à 0
En effet : il s'agit d'intersection, donc d'un systeme composé de 2 equation du type y=f(x) et y=g(x)
D'où par substitution, pour que les coordonné vérifie les deux equation on a f(x)=g(x)
Tou cela se simplifie plus ou moins aisement jusqu'a arrivé a une equation trigo TK: Cercle trigo
x=2kPI/2 au cas ou.

Enfet tant que tu reconnai pas un 2nd degré n'ai pas lautomatisme de mettre 0, sa ta fait loupé un simplification par e^-x
Mais quand tu vois tu reconnai pas de pb met 0

e^(-x).cos(4x)-e^(-x)=0
tu peut peut etre factoriser par qqchose O_o

Valentine a écrit:merci j'avais fini par me persuader que j'avais bon, vous m'auriez tué en me disant le contraire... malheureusement maintenant je bloque au niveau de l'équation que j'obtient après avoir posé mon système d'équations dans la question 2°)... je vois vraiment pas comment résoudre ce truc horrible: e^(-x).cos(4x)-e^(-x)=0; dites moi si je me suis plantée quelque part, ou alors quelle technique utilisée si mon équation est la bonne s'il vous plaît... p-e que grace à vous j'aurais la moyenne demain
merci

VaL

Tu fais passer le -e^-x de l'autre coté de ton equation : tu obtiens ainsi :
e^-x * cos(4x) = e^-x

Ici tu vois clairement que pour vérifier cette équation, il faut que ton cos(4x) soit égal à 1 , 1 étant neutre dans la multiplication.
Or il existe une seule valeur X tel que cos (X) = 1 sur [0 ; 2pi] cependant tu n'es pas sur cet interval, par conséquent tu devras compter dans ta solution l'infinité de tours du cercle que tu peux effectuer que l'on ecrit " 2kpi" , tu trouveras donc une famille de solutions, tous paramétrés !

rholalala honte sur moi de pas avoir vu la factorisation... je vais aller me flageller tiens pour la peine... du coup je suppose que après il suffit de dire qu'on a une nullité produit, ce qui equivaut à la nullité d'un facteur, sachant que exp base e ne peut pas etre egale à zero, on resoud cos(4x)=1 et là on se rapporte au cercle trigo... bon là je vais devoir réflechir, je me rappelle plus quand un cos est égale à un, si ce n'est qu yaura une infinité de solution car modulo2pi... mais on était pas censé trouvé un couple de solution?

edit: merci tony, tu viens de confirmer la première chose que j'avais faite... en pensant que c'était faux!! ça me saoule à chaque fois je me complique la vie en pensant que c'est trop simple donc pas ça... faut que je me pende avant demain... reste plus qu'à trouver quand cos(x)=1 je suis contente!

cos(x) = 1 ?
Mais c'est simple, tu te reportes au cercle trigo ! Tu vois que cos(x) = 1, lorsque x = 2kpi, k étant paramètre. C'est pourquoi tu trouves une famille de solutions

ça ok, ça m'est vite revenu en faisant le cercle. cela dit, ça marche aussi pour x=0 si je ne m'abuse... et dans le cas de notre exo, il faut bien divisé 2kpi par 4, non? puisqu'on a cos(4x)=1... et ça donnerait kpi/2... ou je me trompe completement?

nn cest bon normalement a la fin ca mdonne S= (kpi/2 ; 1 , avec k € N)

Ah oui, c'est vrai qu'il ne faut pas oublier ça, le k appartient à N est très important ^^

Pour la 3)b)
pb: monotonie d'une suite géo (ou arithm)
On connai la relation de récurrence, pourquoi ne pas simplement dire raison positive donc croissante c'est valable non?
Dupain n'est pas passé par sa? :/

OMG TON DISCOURS A EXPLOSé!
nn jdec mai monotonie dune suite c sg de Un+1 - Un O_o et en plus je trouve que cest decroissant o_o
qq aurait pas la bonne reponse svp?

Jcommen à etre de plus en plus sur que c'est croissant de toute façon j'ai pas osé faire un abus de discours :p jsuis passé par le sg du Taux
Ma TI-89 approuve ma thèse après un long moment de reflexion...

lol attend tu trouves quoi deja pour Un en fonction de n?

Commençons par la:
Un= [e^-(nPI/2)]*cos(2nPI)

Ma raison c'est e^-PI/2 Uo=1

moi jtrouve Un = (e^(-pi/2))^n O_O

Jpense ta loupé ton remplacement :p
paske dans f(x) ya du cos(4x) donc cos(4*nPI/2) = cos(2nPI) = cos (n*2PI) et non cos(n+2PI) periode

ah mais moi chu pas passé par f, g itéré genre U1, U2,...., apres ta Un